1.2 การเชื่อประพจน์

 ในวิชาคณิตศาสตร์หรือในชีวิตประจำวัน  จะพบประโยคที่ได้จากการเชื่อประโยคอื่นๆ  ด้วยคำว่า  และ  หรือ  ถ้า...แล้ว  ก็ต่อเมื่อ  หรือพบประโยคซึ่งเปลี่ยนแปลงมาจากประโยคเดิมโดยเติมคำว่า  ไม่  คำเหล่านี้เรียกว่า  ตัวเชื่อม  (connectives)  เช่น

           และ  4 เป็นจำนวนคู่

           ถ้า  3  เป็นจำนวนคี่  แล้ว  32 เป็นจำนวนคี่     

           รูปสามเหลี่ยม  ABC  จะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า         ก็ต่อเมื่อ  รูปสามเหลี่ยม  ABC  มีด้านยาวเท่ากันทุกด้าน

           เพื่อความสะดวกในการศึกษาเกี่ยวกับการเชื่อประพจน์  จะใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก  เช่น   p,q,r,s,…  แทนประพจน์ที่นำมาเชื่อมกัน  และก่อนที่จะพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมจะต้องพิจารณาค่าความจริงที่เป็นไปได้ของประพจน์  ดังนี้

           ถ้ามีประพจน์เดียวคือ  จะมีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่เกิดขึ้นได้  2  กรณี  คือ  จริง  ซึ่งจะเขียนแทนด้วย  หรือ  เท็จ  จะเขียนแทนด้วย  F

           ถ้ามีสองประพจน์คือ   p  และ  จะมีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่จะเกิดขึ้น  ได้ทั้งหมด  4  กรณี  ซึ่ง  และ  ของ  ต่างก็จะจับคู่กรณี  และ  ของ  ได้ดังนี้

(1)  การเชื่อประพจน์ด้วยตัวเชื่อม</b>  และ

           พิจารณาประพจน์  1 + 2  =  2 +1

                                          3x 2   =  2  x  3

           เมื่อเชื่อมประพจน์ทั้งสองด้วย  และ  จะได้ประพจน์ใหม่คือ

                      1 + 2 = 2 + 1  และ  3 x 2 = 2 x 3

           ในการเชื่อมประพจน์ด้วย และมีข้อตกลงว่าประพจน์ใหม่จะเป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันนั้นเป็นจริงทั้งคู่ กรณีอื่นๆ เป็นเท็จทุกกรณี

            ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อม p กับ ด้วย และคือ “p และ q” เขียนแทนด้วย  p ^ q และตารางค่าความจริง (truth table) ของ      p ^ q เขียนได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1     ให้ p แทน                                                                      (T)

                                 q แทน 3 เป็นจำนวนคี่                                                                              (T)

              ดังนั้น  p ^ q   แทน   และ 3 เป็นจำนวนคี่                                   (T)  

   ตัวอย่างที่ 2   ให้ r แทน    เป็นจำนวนจริง                                                                     (T)  

                              s แทน   เป็นจำนวนตรรกยะ                                                               (F)

           ดังนั้น   r ^ s  แทน   เป็นจำนวนจริงและเป็นจำนวนตรรกยะ

(2) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม</b>  หรือ

           พิจารณาประพจน์   1 + 5 = 5 + 1

                                           4(2+3) = (4 x 2)+(4 x 3)

           เมื่อเชื่อมประพจน์ทั้งสองด้วย หรือจะได้ประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จในกรณีที่เท็จทั้งคู่ กรณีอื่นๆ เป็นจริงทุกกรณี

           ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อมต่อด้วย หรือคือ  “p  หรือ q” เขียนแทนด้วย   และตารางค่าความจริงของเขียนได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 2 ให้ p แทน เป็นจำนวนตรรกยะ                                                     (F)

                         q แทน เป็นจำนวนเต็ม                                                             (F)

    ดังนั้น แทน  เป็นจำนวนตรรกยะหรือเป็นจำนวนจริง                      (F)

ตัวอย่างที่ 4 ให้ r   แทน 2 เป็นจำนวนคู่                                                                    (T)

                         s  แทน 2 3 เป็นจำนวนคี่                                                                   (F)

   ดังนั้น    แทน 2 เป็นจำนวนคู่ หรือ 2 3  เป็นจำนวนคี่                                  (T)

หมายเหตุ ความหมายของคำว่า หรือที่ใช้โดยทั่วไปมีสองกรณี

           กรณีที่ 1 หมายถึงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เช่น ในการโยนเหรียญครั้งละ 1 เหรียญ แต่ละครั้งเหรียญจะขึ้นหัวหรือก้อยเพียงอย่างเดียว

           กรณีที่ 2 หมายถึงอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง เช่น ครูให้รางวัลแก่นักเรียนที่เรียนดีหรือช่วยกิจกรรมของโรงเรียน   นักเรียนที่ได้รับรางวัลบางคนอาจเรียนดีเพียงอย่างเดียว   บางคนช่วยกิจกรรมของโรงเรียนเพียงอาจอย่างเดียว แต่บางคนอาจอาจมีสมบัติทั้งสองประการก็ได้

           ในตรรกศาสตร์มีข้อตกลงว่า ตัวเชื่อม หรือหมายถึงกรณีที่ 2 เว้นแต่ระบุไว้อย่างชัดเจนให้หมายถึงกรณีที่ 1

(3) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม ถ้า......แล้ว......   

           พิจารณาประพจน์      2 + 3   =   3 + 2 

                                              6(2 + 3)   =   6(3 + 2)

           เมื่อเชื่อมด้วย ถ้า......แล้ว.....   ประพจน์ใหม่ที่เกิดขึ้นคือ

                                  <b>ถ้า</b>   2 + 3   =   3 + 2   <b>แล้ว</b>    6(2 + 3)    =   6(3 + 2)

           ประพจน์ตามหลังคำว่า <b>ถ้า</b>   เรียกว่า <b>เหตุ</b>    ส่วนประพจน์ซึ่งตามหลังคำว่า <b>แล้ว</b>   เรียกว่า <b>ผล</b>     

           ในการเชื่อมประพจน์ด้วย ถ้า...แล้ว...มีข้อตกลงว่าประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จในกรณีที่เหตุเป็นจริงละผลเป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่นๆ เป็นจริงทุกกรณี

           ถ้า p และ q เป็นประพจน์   ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อมด้วย ถ้า...แล้ว... คือ ถ้า p แล้ว q” เขียนแทน

ถ้า p และ q เป็นประพจน์   ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อมด้วย ถ้า...แล้ว... คือ ถ้า p แล้ว q” เขียนแทนด้วย   และตารางค่าความจริงของ เขียนได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 5    ให้ p แทน 0  เป็นจำนวนเต็ม                                                                                   (T)

                                          q แทน 0 เป็นจำนวนลบ                                                                               (F)

                                ดังนั้นแทน ถ้า 0 เป็นจำนวนเต็ม แล้ว 0 เป็นจำนวนลบ                (F)

ตัวอย่างที่ 6    ให้ r แทน 5 เป็นจำนวนคี่                                                                                 (T)

                                            s แทน 54  เป็นจำนวนคี่                                                                 (T)

                                    ดังนั้น  แทน ถ้า 5 เป็นจำนวนคี่ แล้ว 54    (T)

ประพจน์ที่ใช้ตัวเชื่อม ถ้า...แล้ว...มีบทบาทสำคัญยิ่งในวิชาคณิตศาสตร์   ทฤษฎีบทในวิชาคณิตศาสตร์ส่วนมากจะอยู่ในรูป เช่น

 (4) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม   ก็ต่อเมื่อ

           พิจารณาประพจน์   2(3 + 2)   =   2 x 5

                                             3 + 2    =    

เมื่อเชื่อมประพจน์ทั้งสองด้วย ก็ต่อเมื่อประพจน์ที่ได้ใหม่คือ

                     2(3 + 2)     =     2 x 5    ก็ต่อเมื่อ 3 + 2   =   5

           ซึ่งมีความหมายเป็น

           ถ้า   2(3 + 2)   =   2 x5   แล้ว   3 + 2    =   5   และ

           ถ้า    3 + 2   =   5            แล้ว   2(3 + 2)   =    2 x 5

           การเชื่อมต่อประพจน์ด้วยตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อมีข้อตกลงว่าประพจน์จะเป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันนั้นเป็นจริงด้วยกันทั้งคู่หรือเป็นเท็จด้วยกันทั้งคู่เท่านั้น   กรณีอื่นๆ เป็นเท็จเสมอ    

           ถ้า p และ q เป็นประพจน์   ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อมด้วย ก็ต่อเมื่อคือ “p ก็ต่อเมื่อ q” เขียนแทน

ด้วย และตารางค่าความจริงของ    เขียนได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 7ให้ p แทน 7 หารด้วย 2 ลงตัว                                                                              (F)

                                          q แทน 7 เป็นจำนวนคู่                                                                                    (T)

                                      ดังนั้น แทน 7 หารด้วย 2 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 7 เป็นจำนวนคู่                  (T)

ตัวอย่างที่ 8 ให้ แทน (-2)2                                                                                                         (T)

                                        s แทน 2   =   -2                                                                                                (F)                                                          

                ดังนั้น   แทน 22  = (-2)2          ก็ต่อเมื่อ 2   =   -2                                                           (F)

 ตัวอย่างที่ 9 ให้   m   แทน 2 < 3                                                                                              (T)

                                             n แทน                                                                                         (T)

ดังนั้น   แทน   2 < 3 ก็ต่อเมื่อ                                                (T)

หมายเหตุ ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เป็นบทนิยามต่าง ๆ ถ้านำมาเขียนเป็นประโยคที่มีตัวเชื่อมจะมีความหมายเดียวกับการใช้ตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อ เช่น

           รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันสองด้านหมายความว่า รูปสามเหลี่ยมใดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นมีด้านยาวเท่ากันสองด้านอาจกล่าวได้อีกอย่างว่า

           ถ้ารูปสามเหลี่ยมใดเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วแล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นจะมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน   และถ้ารูปสามเหลี่ยมใดมีด้านยาวเท่ากันสองด้านแล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

(5) นิเสธของประพจน์

           นิเสธของประพจน์   2 + 3 =  5  คือ  

           นิเสธของประพจน์  2 < 3  คือ    (อ่านว่า  2  ไม่น้อยกว่า  3  หมายความว่า  2  อาจเท่ากับ  3  หรือมากกว่า  3  ซึ่งเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า  )

           นิเสธของประพจน์  เขียนแทนด้วย ~p แต่ตารางค่าความจริงของ  ~p เขียนได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 10  ให้  แทน  (2,0)  เป็นพิกัดของจุดที่อยู่บนแกน  X                         (T)

               ดังนั้น   ~p แทน  (2,0)   เป็นพิกัดของจุดที่ไม่อยู่บนแกน  X                   (F)

 

ตัวอย่างที่ 11 ให้  q   แทน  แมงมุมไม่เป็นแมลง                                                    (T)

               ดังนั้น  ~p แทน  ไม่จริงที่ว่าแมงมุมไม่เป็นแมลง                                  (F)

หมายเหตุ

1.  ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันเชื่อมด้วยตัวเชื่อมต่างๆ  เรียกว่า  ประพจน์ย่อย  (atomic  statement)

2.  ตัวเชื่อมต่างๆ  ที่กล่าวมานอกจากใช้เชื่อมประพจน์แล้วยังใช้ในการเขียนเป็นสัญลักษณ์คณิตศาสตร์ด้วยเช่น

           2.1  ยูเนียนของเซต  และ  คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของเซต  หรือของเซต  หรือของทั้งสองเซต  เขียนแทนด้วย     

           2.2  อินเตอร์เซกชันของ  เซต  A   และ  คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของ  และของเซต  เขียนแทนด้วย    

           2.3  ถ้า  ab  =  0  แล้ว  a = 0  หรือ  b = 0  เขียนเป็น  

แบบฝึกหัด  1.2

1.  จงเขียนประพจน์ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์  และหาค่าความจริงของแต่ละประพจน์

            (1)   0  เป็นจำนวนนับ  และ  6  เป็นจำนวนเต็ม

            (2)  9  ไม่เท่ากับ  10  หรือ  10  ไม่น้อยกว่า  9

            (3)  และ  -1  เป็นจำนวนจริง

            (4) 

            (5) เป็นจำนวนตรรกยะ 32 และไม่ใช่จำนวนจริง

            (6)  2  เป็น  ห.ร.ม ของ 4 และ 6 ก็ต่อเมื่อ 2 หาร 4+6 ไม่ลงตัว

            (7) ถ้า 3 เป็นจำนวนคี่แล้ว เป็นจำนวนคี่  

            (8)  เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนอตรรกยะ  

            (9)  13 เป็นจำนวนเฉพาะ   ก็ต่อเมื่อ 13  มีตัวประกอบคือ 1 กับ 13

            (10)  

            (11)  (2 + 6) + 4   =   12   หรือ 12   =   2(5)+2

            (12)   ถ้าแมงมุมเป็นแมลง   แล้วแมงมุมต้อมี 6 ขา

            (13)  งูเห่าและงูจงอางเป็นสัตว์มีพิษ

            (14)  ปลาโลมาหรือคนเป็นสัตว์เลือดอุ่น

2.   จงหานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้   และหาค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นนิเสธ

            (1)  4 + 9 =10 + 3

            (2)  

            (3)  เชตของจำนวนนับที่เป็นคำตอบของสมการ x2 + 1 = 0เป็นเซตว่าง  

            (4)  

            (5)  

            (6)  

            (7)  15 ไม่ใช่จำนวนจริง

            (8)  ปลาวาฬเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม

3.   จงบรรยายความหมายของสัญลักษณ์ต่อไปนี้

           เมื่อกำหนด แทนประพจน์   ฉันซื้อสลากกินแบ่งรัฐบาล

                      และ แทนประพจน์   ฉันถูกรางวัลที่หนึ่ง”