การต่อตัวต้านทานและแบตเตอรี่

การต่อตัวต้านทานและแบตเตอรี่
                เนื่องจากกระแสไฟฟ้าและความต่างศักย์ในชิ้นสวนต่างๆ ของวงจรขึ้นกับความต้านทานของตัวต้านทาน และแรงเคลื่อนไฟฟ้าของแบตเตอรี่ ดังนั้นการนำตัวต้านทานหรือแบตเตอรี่มาต่อกัน จะทำให้ความต้านทานรวมและแรงเคลื่อนไฟฟ้ารวมเปลี่ยนไปอย่างไร และมีผลต่อกระแสไฟฟ้าในวงจรอย่างไร 

               การต่อตัวต้านทาน 

ในการนำตัวต้านทานสองตัวมาต่อกันแล้วนำไปต่อกับแบตเตอรี่จะสามารถทำได้ 2 รูปแบบ คือการต่อตัวต้านทาน ดังรูป 16.30 ก  เรียก การต่อแบบอนุกรมส่วนการต่อตัวต้านทานดังรูป 16.30 ข  เรียก การต่อแบบขนาน 

รูป 16.30 การต่อตัวต้านทาน

 

                ถ้านำตัวต้านทานที่ต่อทั้งสองรูปแบบไปต่อกับแบตเตอรี่ กระแสไฟฟ้าที่ผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทานแต่ละตัวจะเป็นอย่างไร จะศึกษาได้จากการทดลอง  16.3  ซึ่งสรุปผลได้ดังนี้

                ในวงจรไฟฟ้าที่มีตัวต้านทานต่อแบบอนุกรม  พบว่า

                1.  กระแสไฟฟ้าในวงจรเท่ากับกระแสไฟฟ้าที่ผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว

                2.  ความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทานเท่ากับผลบวกของความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทานแต่ละตัวที่ต่อแบบอนุกรม

                ในวงจรไฟฟ้าที่มีตัวต้านทานต่อแบบขนาน  พบว่า

1. กระแสไฟฟ้าในวงจรเท่ากับผลบวกของกระแสไฟฟ้าที่ผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว

2.ความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทานแต่ละตัวมีค่าเท่ากัน และเท่ากับความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทานที่ต่อแบบขนาน

จากข้อสรุปดังกล่าว นำมาวิเคราะห์หา ความต้านทานรวม หรือความต้านทานสมมูล (equivalent resistance) ของตัวต้านทานที่ต่อกัน ได้ดังนี้

ก. ความต้านทานรวมของตัวต้านทานที่ต่อแบบอนุกรม 

รูป 16.31 การหาความต้านทานรวมของตัวต้านทานที่ต่อแบบอนุกรม

 

จากรูป 16.31 ก. เราทราบว่า\displaystyle V = V_1  + V_2 

จากกฎของโอห์ม จะได้\displaystyle IR = I_1 R_1  + I_2 R_2

 เมื่อ R คือความต้านทานรวมของ\displaystyle R_1  และ  \displaystyle R_2  ที่ต่อแบบอนุกรม  ดังในรูป 16.31 ข. 

                เนื่องจาก   \displaystyle I = I_1 = I_2
                ดังนั้น   \displaystyle R = R_1 + R_2

ถ้าต่อตัวต้านทาน n ตัว  แบบอนุกรม  จะได้ความต้านทานรวม  ดังนี้

                    \displaystyle R = R_1  + R_2  + R_3  + ... + R_n             (16.9)

 

 ข. ความต้านทานรวมของตัวต้านทานที่ต่อขนาน 

รูป 16.32 การหาความต้านทานเมื่อต่อตัวต้านทานแบบขนาน

 

จากรูป 16.32 ก. เราทราบว่า  \displaystyle I = I_1  + I_2

จากกฎของโอห์ม จะได้      \displaystyle \frac{V}{R} = \frac{{V_1 }}{{R{}_1}} + \frac{{V_2 }}{{R_2 }} 

เมื่อ R คือความต้านทานรวมของ \displaystyle R_1  และ  \displaystyle R_2 ที่ต่อแบบขนาน  ดังในรูป 16.32 ข. 

            เนื่องจาก                  \displaystyle V = V_1 = V_2
            ดังนั้น   \displaystyle \frac{1}{R} = \frac{1}{{R{}_1}} + \frac{1}{{R_2 }} 

ถ้าต่อตัวต้านทาน n ตัว แบบขนาน จะได้ความต้านทานรวม  ดังนี้

                    \displaystyle \frac{1}{R} = \frac{1}{{R{}_1}} + \frac{1}{{R_2 }} + \frac{1}{{R{}_3}} + ... + \frac{1}{{R_n }}      (16.10)

 

                - ตัวต้านทานสองตัวที่ต่อแบบอนุกรม และต่อแบบขนาน ความต้านทานรวมของแต่ละกรณี ต่างกันอย่างไร และมีผลต่อกระแสไฟฟ้าในวงจรอย่างไร

 

                ในการต่อตัวต้านทานแบบอนุกรม ความต้านทานรวมจะมากกว่าความต้านทานรวมกรณีต่อแบบขนาน จึงทำให้กระแสไฟฟ้าในวงจรที่ต่อตัวต้านทานแบบอนุกรมมีค่าน้อยกว่ากระแสไฟฟ้าในวงจรที่ต่อตัวต้านทานแบบขนาน

                ความรู้ข้างต้น ช่วยให้เราสามารถเลือกตัวต้านทานหนึ่งตัว หรือมากกว่ามาต่อกันเพื่อให้ได้ความต้านทานรวมที่ต้องการ ซึ่งนอกจากจะต่อแบบอนุกรมหรือแบบขนานก็ได้แล้ว อาจนำการต่อทั้งสองรูปแบบมาต่อปนกันได้อีก เรียกว่า การต่อแบบผสม 

 

          การประยุกต์ความรู้เรื่องการต่อตัวต้านทาน 

         การแบ่งศักย์

ความรู้เรื่องการต่อตัวต้านทานแบบอนุกรมนำไปใช้ในการแบ่งความต่างศักย์ในวงจรตัวต้านทานที่ทำหน้าที่นี้เรียกว่า ตัวแบ่งศักย์ (potential divider)  ศึกษาได้จากการทดลอง 16.4  เรื่องตัวแบ่งศักย์

 

<b>รูป 16.33 การแบ่งความต่างศักย์โดยใช้ตัวต้านทาน</b>

                จากวงจรในรูป 16.33 ก.  ตัวต้านทาน \displaystyle R_1 และ  \displaystyle R_2   ต่อกันแบบอนุกรม และต่อกับแบตเตอรี่
\displaystyle V_{in}  เป็นความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทาน  \displaystyle R_1 และ  \displaystyle R_2   ที่ต่อแบบอนุกรม
\displaystyle V_1  เป็นความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทาน \displaystyle R_1
\displaystyle V_{out}  เป็นความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทาน  \displaystyle R_2
ให้  \displaystyle V_{out}  เป็นความต่างศักย์ที่ต้องการซึ่งแบ่งแยกจาก \displaystyle V_{in}  โดยใช้ตัวต้านทาน R1 และ R2   ที่มีความต้านทาน  \displaystyle R_1 และ  \displaystyle R_2    ตามลำดับ โดยหาค่าได้ดังนี้
จากกฎของโอห์ม     \displaystyle V_{in}&nbsp; = I(R_1&nbsp; + R_2 )   
           (ก)
           และ    \displaystyle V_{out}&nbsp; = IR_2   
          (ข)
          จากสมการ (ก) และ (ข) จะได้ \displaystyle V_{out}&nbsp; = \frac{{R_2 }}{{R_1&nbsp; + R_2 }}V_{in} 
         (16.11)
          จากสมการ (16.11) แสดงว่า [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 1 ]
               

หรือกล่าวได้ว่า กระแสไฟฟ้าที่เข้าจุด                 a  เท่ากับผลบวกของกระแสไฟฟ้าที่ออกจากจุด a

เมื่อพิจารณาที่จุด b จะได้    \displaystyle I&nbsp; = I_1&nbsp; + I_2 = I หรือกล่าวได้ว่า  ผลบวกของกระแสไฟฟ้าที่เข้าจุด b เท่ากับกระแสไฟฟ้าที่ออกจากจุด b

รูป 16.34 กระแสไฟฟ้าที่ผ่านจุด a และ b

สรุปได้ว่า ผลรวมของกระแสไฟฟ้าที่เข้าจุดใดๆ ในวงจรเท่ากับผลรวมของกระแสไฟฟ้าที่ออกจากจุดนั้นเสมอ ซึ่งแสดงว่าประจุไฟฟ้าที่ผ่านจุดต่างๆในวงจรมีค่าคงตัว จึงเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้าทุกประการ

 

                การต่อแบตเตอรี่

แบตเตอรี่เป็นแหล่งกำเนิดไฟฟ้าที่ใช้กันแพร่หลาย ถ้านำแบตเตอรี่มาต่อ จะทำได้กี่แบบ และแรงเคลื่อนไฟฟ้ารวมของแบตเตอรี่จะเป็นเท่าใด

การต่อแบตเตอรี่แบบอนุกรม

การต่อแบตเตอรี่แบบอนุกรมเป็นการนำขั้วตรงข้ามของแบตเตอรี่แต่ละก้อนต่อเรียงกันไป สามารถวิเคราะห์หาแรงเคลื่อนไฟฟ้ารวมได้ดังนี้

 

รูป 16.35 การต่อแบตเตอรี่แบบอนุกรม

 

                พิจารณาแบตเตอรี่สองก้อนที่ต่ออนุกรม และต่อกับตัวต้านทานที่มีความต้านทาน R ดังรูป 16.35 ก  แบตเตอรี่แต่ละก้อนมีแรงเคลื่อนไฟฟ้า   \displaystyle E_1  และ   \displaystyle E_2 และมีความต้านทานภายใน  \displaystyle R_1  และ \displaystyle R_2 ตามลำดับ ถ้ากระแสไฟฟ้าในวงจรเท่ากับ I ความต่างศักย์ระหว่างขั้วแบตเตอรี่เท่ากับ  \displaystyle V_1  และ  \displaystyle V_2    และความศักย์ระหว่างจุด a และ b เท่ากับ \displaystyle V_{ab}     จะได้

                                                       \displaystyle V_{ab} = V_1 +V_2    
           จากสมการ (16.6)  จะได้   \displaystyle V_{ab} = (E_1 - Ir_1) + (E_2 - Ir_2)    
          หรือ   \displaystyle V_{ab} = E_1&nbsp; + E_2 - I (r_1 + r_2)     
(ก)
 
จากรูป 16.35 ก  สามารถเขียนวงจรเทียบเท่าได้ดังรูป 16.35 ข  เมื่อ  E  เป็นแรงคลื่อนไฟฟ้ารวมและ   r  เป็นความต้านทานรวมของแบตเตอรี่ทั้งสอง

จาก        \displaystyle V_{ab} = E - Ir                 (ข)
                เทียบสมการ (ก)  และ (ข)  จะได้
                       \displaystyle E = E_1 + E_2      
               และ  \displaystyle r = r_1 + r_2                               

                ทำนองเดียวกัน  ถ้านำแบตเตอรี่ n ก้อนที่มีแรงเคลื่อนไฟฟ้า    \displaystyle E_1, E_2 &hellip; E_n    และความต้านทานภายใน \displaystyle r_1, r_2 &hellip; r_n    ตามลำดับ มาต่อแบบอนุกรม จะได้แรงเคลื่อนไฟฟ้ารวม E  และ ความต้านทานภายในรวม r ดังนี้
                                 \displaystyle E = E_1 + E_2 + &hellip; + E_n     
                       และ  \displaystyle r = r_1 + r_2 + &hellip; + r_n    
            
       ดังนั้น ในการต่อแบตเตอรี่แบบอนุกรม แรงเคลื่อนไฟฟ้ารวมเท่ากับผลบวกของแรงเคลื่อนไฟฟ้าของแต่ละก้อน และความต้านทานภายในรวมเท่ากับผลบวกของความต้านทานภายในของแบตเตอรี่แต่ละก้อน

                ในการต่อแบตเตอรี่แบบอนุกรม ถ้าต่อขั้วชนิดเดียวกันเข้าด้วยกัน จะทำให้แรงเคลื่อนไฟฟ้ารวมลดลง ดังนั้นในการใช้เครื่องใช้ไฟฟ้าที่ต้องใช้แบตเตอรี่หลายก้อนต่อแบบอนุกรม ต้องระวังการต่อขั้วผิด ควรสังเกตเครื่องหมาย +   และ -  บนก้อนแบตเตอรี่แต่ละก้อนและช่องใส่แบตเตอรี่ในเครื่องใช้ไฟฟ้า

 

             การต่อแบตเตอรี่แบบขนาน
            
การต่อแบตเตอรี่แบบขนานเป็นการนำขั้วชนิดเดียวกันของแบตเตอรี่แต่ละก้อนมาต่อกัน ซึ่งสามารถวิเคราะห์หาแรงเคลื่อนไฟฟ้ารวมได้ดังนี้

รูป 16.36 การต่อแบตเตอรี่แบบขนาน

 

                พิจารณาแบตเตอรี่สองก้อนที่เหมือนกัน เมื่อต่อขนานกันและต่อกับตัวต้านทานที่มีความต้านทาน R ดังรูป 16.36 ก  แบตเตอรี่แต่ละก้อนมีแรงเคลื่อนไฟฟ้า  \displaystyle R_1   และมีความต้านทานภายใน  \displaystyle r_1  ถ้ากระแสไฟฟ้าในวงจรเท่ากับ I  ความต่างศักย์ระหว่างขั้วแบตเตอรี่เท่ากับ  \displaystyle V_1 และ   \displaystyle V_2   และความต่างศักย์ระหว่างจุด a และ b เท่ากับ  \displaystyle V_ab จะได้
                                                 \displaystyle V_1 =&nbsp; V_2 = V_{ab}
            เนื่องจากแบตเตอรี่เหมือนกัน ดังนั้นกระแสไฟฟ้าที่ผ่านแบตเตอรี่แต่ละก้อนเท่ากับ \displaystyle \frac{1}{2}I จะได้
                                                \displaystyle V_1&nbsp; = V_2&nbsp; = E_1&nbsp; - \frac{1}{2}Ir_1
          หรือ  \displaystyle V_{ab}&nbsp; = E_1&nbsp; - \frac{1}{2}Ir_1
                         (ก)

                รูป 16.36    สามารถนำไปเขียนวงจรเทียบเท่าได้ดังรูป  16.36    เมื่อ  E  เป็นแรงเคลื่อนไฟฟ้ารวม และ r  เป็นความาต้านทานรวมของแบตเตอรี่ทั้งสอง

                จาก             \displaystyle V_{ab}&nbsp; = E - Ir                    (ข)
               เทียบสมการ (ก) และ (ข)  จะได้
                                           \displaystyle E&nbsp; = E_1 
               และ         \displaystyle r = \frac{1}{2}r_1
  
   
                ดังนั้น  ถ้านำแบตเตอรี่หลายก้อนที่แต่ละก้อนมีแรงเคลื่อนไฟฟ้าเท่ากันและความต้านทานภายในเท่ากัน มาต่อแบบขนาน แรงเคลื่อนไฟฟ้ารวมเท่ากบแรงเคลื่อนไฟฟ้าของแบตเตอรี่ก้อนเดียวและความต้านทานภายในรวมเท่ากับความต้านทานภายในของแบตเตอรี่ก้อนเดียวหารด้วยจำนวนแบตเตอรี่

                ด้วยเหตุนี้การต่อแบตเตอรี่เพื่อใช้งาน จึงมักต่อแบบอนุกรม เพื่อให้ได้แรงเคลื่อนไฟฟ้ารวมเพิ่มตามที่ต้องการ ส่วนการต่อแบบขนาน จะใช้เฉพาะกรณีที่ต้องการใช้พลังงานไฟฟ้านาน โดยแรงเคลื่อนไฟฟ้ายังคงเท่าเดิม

 

                - เซลล์สุริยะเป็นแหล่งกำเนิดไฟฟ้าชนิดหนึ่ง ที่ผลิตพลังงานไฟฟ้าจากพลังงานแสงอาทิตย์โดยตรง เซลล์สุริยะแต่ละเซลล์มีแรงเคลื่อนไฟฟ้า 0.5 โวลต์ ถ้าต้องการนำไปเป็นแหล่งกำเนิดไฟฟ้าของมอเตอร์ขนาด 6 โวลต์ จะต้องใช้เซลล์ทั้งหมดกี่เซลล์ และต่อกันอย่างไร